Anteckningsblock för mattecirkeln

Lektion 8. Rester

2004-11-13T17:32:55Z

Aptitretande uppgifter
1. Mitt på dagen blev det mulet över en afrikansk by och det började regna kl. 12 prick. Efter tre dygn av oupphörligt regn öste folk byns trollkarl med frågor ”När kommer ovädret att ta slut?”. ”Exakt efter 300 timmars regn kommer solen att lysa!” svarade trollkarlen. Skall man tro på honom?
2. Låt oss börja räkna på fingrarna på vänsterhand: tummen blir 1, pekfingret blir 2, långfingret 3, ringfingret 4, lillfingret 5, ringfingret igen 6, långfingret 7, pekfingret 8, tummen 9, pekfingret igen 10 osv. Vilket finger kommer at vara 2004?
3. Vilken veckodag blir den 13 november 2032?

Lektion 7. Kloka frågor

2004-10-30T17:35:19Z

Minska ovissheten: räkna med det sämsta svaret och välj den frågan som ger det minsta antalet möjliga utfall efter det sämsta svaret.

Avancerad cirkeln. Lektion 6. Mattekarusell

2004-10-23T14:17:33Z

Ett spännande lagspel

Avancerad cirkeln. Lektion 5. Samma antal?

2004-10-16T17:12:09Z

Ta det lungt - det kommer snart!

Avancerad cirkeln. Lektion 4. Oordnade urval

2004-10-09T14:10:12Z

Detta är avancerad mattecirkeln vid Sonja Kovalevsky-skolan, Stockholm. Här kan du delta i cirkelns verksamhet online genom att diskutera uppgifter och föreslå sina lösningar.
Länkar: förra lektionen nästa lektionen</a> Facit Ryska versionen

Oordnade urval. Om det finns N stycken föremål bland vilka vi ska välja k stycken kan detta val göras på C(N,k) sätt (utläses "C av k ur N"). Den ordning man väljer spelar ingen roll. Eftersom man kan ordna k stycken föremål på k! sätt, fås det k! ordnade urval ur ett enda oordnade urval. Sambandet mellan antalen ordnade och oordnade urval är då: C(N,k)·k! = N^k. Således är antalet oordnade urval av k ur N
C(N,k) = N(N-1)(N-2)...(N-k+1) / k!
(exakt k stycken faktorer både i täljaren och i nämnaren).

Övningar

1. Beräkna a) 10² b) C(10,2).

2. Beräkna a) 9³ b) C(9,3) c) 9³ / C(9,3)

3. Det finns 9 föremål att välja från. Hur många sätt finns det
а) att skapa en ordnad lista av tre föremål?
b) att välja en uppsättning av tre föremål (en ordning spelar ingen roll)?

4. Ett lag består av 10 spelare. Hur många sätt finns det
а) att välja en kapten och en ställföreträdare?
b) att välja två jourhavande spelare?

5. Ett lag består av 10 spelare. På hur många sätt kan man välja åtta av dem som ska spela i närmaste matchen?

6. Beräkna C(9,6). Förklara, varför svaret är detsamma som ett av föregående svaren.

7. I en lottsedel "4 ur 12" ska man markera 4 stycken nummer från 1 till 12. Vid en vinstdragning också väljs 4 nummer slumpvis. Den som markerat rätt alla fyra får ett huvudpris. Hur många låttsedel måste man fylla i för att garanterat vinna ett huvudpris?

Uppgifter

8. Beräkna С(1001,3) / С(1001,2)

9. I en kapplöpning deltar 12 hästar. En åskådare får där denne ska markera 4 hästar. Man vinner en miljon om alla fyra markerade hästar kommer som de fyra första. Peter har fått ett tips om två hästar som säkert inte kommer bland fyra första. Hur många låttsedel måste Peter fylla i för att garanterat vinna em miljon?

10. Ett lag består av 15 spelare Peter inräknad. Man måste välja 11 spelare till närmaste matchen. På hur många sätt kan man välja
а) om Peter ska vara med?
b) om Peter inte ska vara med?
(Man får svara med ett uttryck av typen C(...,...), det behövs inte att svara med ett tal.

11. Visa utan att beräkna
а) C(14,11)+C(14,10) = C(15,10)
b) C(N-1,k)+C(N-1,k-1) = C(N,k)

12. а) Det finns 9 kulor som ser likadana ut. Man vet att 3 av dem är radioaktiva. Det finns en testare som kan visa om det finns eller inte finns radioaktiva kulor i vilken som helst grupp av kulorna. Tyvärr, visar testaren inte hur många kulor är radioaktiva. Visa att det finns inte ett säkert sätt att bestämma alla radioaktiva kulor på bara 6 prövningar .
b) Det finns 9 mynt som ser likadana ut. Man vet att 3 av dem är falska och är lättare än de äkta. Man har en balansvåg utan vikter. Visa att det finns inte ett säkert sätt att bestämma alla falska myntet på bara 4 vägningar.

13. Hur många 10-siffriga heltal består av tre siffror 5 och sju siffror 6?

14* Ett torn får göra ett drag bara ett steg uppåt eller åt höger. På hur många sätt kan man flytta tornet från det vänstra nedersta hörnet till det högra översta hörnet? Betrakta schackbräden av storlek
a) 3x3 b) 4x4 c) 8x8 d) NxN e) MxN

Avancerad cirkeln. Lektion 3. Urval, fakultet, permutationer.

2004-10-02T14:46:07Z

Detta är den 3:e lektionen av avancerad mattecirkeln vid Sonja Kovalevsky-skolan, Stockholm. Här kan du delta i cirkelns verksamhet online genom att diskutera uppgifter och föreslå sina lösningar.
Länkar: förra lektionen nästa lektionen Facit Ryska versionen

Ordnade urval. Om ett alfabet innehåller N bokstäver, då är antalet ord som består av olika bokstäver N^k = N(N-1)(N-2)...(N-k+1) (totalt k stycken faktorer). Ord får vara meningslösa. Exempel: om alfabetet är A,B,C finns 3·2 ord som består av två olika bokstäver, nämligen AB, AC, BA,BC, CA, CB.

1. a)Hur många tresiffriga tal består av 3 olika positiva siffror?
b) Hur många tresiffriga tal består av positiva siffror varav max två är olika?

2. a) I en kapplöpning deltar 8 hästar. En åskådare får fylla i ett kort där denne gissar på vilken plats varje häst kommer. Den som gissar rätt de 4 första platserna vinner en miljon. Man får fylla i flera kort. Hur många kort måste Peter fylla i för att säkert vinna en miljon?
b) Hästskötaren vet exakt hur kapplöpningen ska sluta men det är strängt förbjudet för honom att säga något om detta. Ändå är han Peters vän. De kom överens om att Peter får säga en förmodan och hästskötaren genom en vink om de är rätt eller fel. En förmodan får vara invecklad, t.ex. ”Jag tror att hästen A kommer före exakt en av hästarna B,C och D.” Hur många förmodan behövs för att med säkerhet fylla i ett kort rätt?

3. а) Bland 6 mynt är två falska– ett tyngre och ett lättare än ett äkta mynt. Kan man genom endast tre vägningar på en balansvåg utan vikter hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket som är lättare?
b) Bland 4 mynt är två falska– ett tyngre och ett lättare än ett äkta mynt. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan vikter för att hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket som är lättare?

Permutationer. N böcker kan man placera i rad på en bokhylla på N!=N(N-1)…2·1 sätt (utläses N fakultet). T. ex. 4!=4·3·2·1=24.

4. Beräkna 1!, 2!, 3!, 5!, 6! och 7!.

5. Hur många fyrsiffriga tal består av olika siffror som är alla större än 5?

6. Bestäm de två sista siffrorna i talet 11! utan att beräkna talet.

7. På hur mänga sätt kan man placera 8 torn på ett schackbräde utan att de hotar varandra?

8. Beräkna a) 2004!/2003! b) 100!/98!

9. Det finns 4 stenar som alla väger olika och en balansvåg utan vikter. Bestäm det minsta antalet vägningar som behövs för att ordna stenarna viktmässigt.

10. Vilket är större: 100! eller 2100?

11. I en kapplöpning deltar 7 kackerlackor. En åskådare får betala 200 kronor och fylla i ett kort där denne gissar på vilken plats varje kackerlacka kommer. Om alla 7 kackerlackor kommer rätt får man en miljon kronor. Är det värt att spela om man inte vet någonting om kackerlackornas chanser?

12* а) I ett land finns det bara 4 storstäder, och vartenda par av städerna är sammanbundet med sin egen väg. En ond trollkarl vill göra alla vägar enkelriktade på så vis att om en väg blir riktad från A till B så blir det omöjligt att komma tillbaka från B till A även genom andra städer. Hur många sätt finns det att förtrolla alla vägar på ett sådant vis?
b) Samma fråga om de finns 10 storstäder.

13* Det finns 4 vikter som väger 101, 102, 103 och 104 g men man vet inte vilken är vilken. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan andra vikter för att bestämma alla de vikterna.

14* Bland 5 mynt är två falska. De 3 äkta väger 10 g styck, ett falskt väger 9 g, ett annat falskt väger 11 g. Bestäm det minsta antalet vägningar på en balansvåg utan vikter för att hitta de båda falska mynten samt bestämma vilket är lättare.

Avancerad cirkeln. Lektion 2. Minimum frågor-2

2004-09-25T14:05:46Z

Detta är den 2:a lektionen av avancerad mattecirkeln vid Sonja Kovalevsky-skolan, Stockholm.
Här kan du delta i cirkelns verksamhet online genom att diskutera uppgifter och föreslå sina lösningar.
Länkar: Lektioner: förra nästa Svar Ryska versionen

1. Det finns 16 kulor som ser likadana ut. Man vet att en av dem är radioaktiv. Det finns en testare som kan visa om det finns eller inte finns radioaktiva kulor i vilken som helst grupp av kulorna. Bestäm det minsta antalet prövningar som behövs för att säkert hitta den radioaktiva kulan.

2. Det finns 5 kulor som ser likadana ut. Man vet att 2 av dem är radioaktiva. Det finns en testare som kan visa om det finns eller inte finns radioaktiva kulor i vilken som helst grupp av kulorna. Tyvärr, visar testaren inte hur många kulor som är radioaktiva. Bestäm det minsta antalet prövningar som behövs för att säkert hitta de båda radioaktiva kulorna.

3. a) 4 mynt ligger på en rad. Man vet att det först följer falska mynt som väger 9 g styck, sedan äkta mynt som väger 10 g styck (bl.a. det första är falskt, det sista är äkta). Bestäm det minsta antalet vägningar på balansvåg utan vikter för att hitta de samtliga falska mynten.
b) På samma sätt ligger 10 mynt på en rad. Kan man genom endast två vägningar på balansvåg utan vikter hitta de samtliga falska mynten?

4. Det finns tre balansvågar som ser likadana ut. Två av de är i gott skick och väger lika mycket. En balansvåg är trasig, så den är lite lättare och kan visa vad som helst. Man kan placera en balansvåg på en skål hos en annan balansvåg. Bestäm den trasiga balansvågen genom två vägningar.

5. Det finns 10 stenar som alla väger olika och en balansvåg utan vikter.
a) Bestäm det minsta antalet vägningar som behövs för att hitta den tyngsta av stenarna.
b) Hur kan man genom 13 vägningar hitta både den tyngsta och den lättaste av stenarna?

6. а) Det finns 9 mynt som ser likadana ut. Det är känt att 8 av dem är äkta och väger lika mycket, och att ett mynt är falskt och har en annan vikt. Vi vill inte bestämma det myntet. Vi vill bara bestämma om det är tyngre eller lättare än ett äkta mynt. Hur många vägningar på balansvåg utan vikter behövs för detta?
b) Samma fråga för 10 mynt.

7. Jag tänkter på två siffror. Du får be mig att utföra vissa huvudräkningar, nämligen multiplisera den första siffran med ett visst heltal, den andra siffran med ett annat heltal, lägga ihop produkterna och meddela summan. Hur ska du gå till väga för att genom ett enda resultat bestämma de båda siffrorna?

8. Det finns 10 säckar med 100 mynt i varje säck. Man vet att alla mynt väger 9 g styck i en av säckarna och 10 g styck i övriga säckar. Man har digital våg som visar vikt exakt. Hur kan man då bestämma säcken som innehåller lättare mynt genom endast en vägning?

9. En kabel består av 5 trådar och går från källaren till taket. En elektriker måste bestämma vilka trådändar som tillhör samma trådar däruppe och därnere. Han får tillfälligt koppla samman vissa trådar på en ända av kabeln (bland annat får han koppla samman fler än två trådar och bilda flera sammankopplade grupper), gå sedan till andra ändan och testa med strömmätaren vilka trådar är sammankopplade. Bestäm det minsta antalet gånger som elektrikern måste gå upp och ner för att klara uppgiften?

10*. Det finns en kvadrat på planet samt en osynlig punkt som endast en trollkarl kan se. Om du ritar en rak linje, så säger trollkarlen på vilken sida av linjen punkten ligger (eller säger han att linjen går genom punkten om så är fallet). Bestäm det minsta antalet frågor som behövs för att bestämma om punkten ligger inom kvadraten eller inte.

Avancerad cirkeln. Lektion 1. Minimum frågor

2004-09-22T16:00:30Z

Detta är nätversionen av avancerad mattecirkeln vid Sonja Kovalevsky-skolan, Stockholm, se annonsen och ytterligare information Här kan du delta i cirkelns verksamhet online genom att diskutera uppgifter och föreslå sina lösningar.
Lektionen ägde rum den 18 september 2004.
Länkar: Nästa lektionen Svar Ryska versionen

1. Jag har tänkt på ett heltal från 1 till 16. Du får ställa frågor av typen ”Är ditt tal större än...”
а) Hur kan du bestämma mitt tal genom 4 frågor?
b) Kan du säkert bestämma talet genom endast 3 frågor?

2. Jag har tänkt på ett heltal från 1 till 100. Du får ställa frågor som man kan svara ”Ja” eller ”Nej” på (så kallade Janej-spelet).
а) Hur kan du bestämma talet genom 7 frågor?
b) Finns det ett säkert sätt at klara det på endast 6 frågor?

3. Det finns 65 mynt som ser likadana ut. 64 av dem är äkta som väger exakt 1 g styck samt ett falskt mynt som väger 0,9 g. En elektronisk våg kan visa exakt hur mycket vilken som helst grupp av mynten väger. Bestäm det minsta antalet vägningar som behövs för att säkert bestämma det falska myntet.

4. Det finns 9 mynt som ser likadana ut. Det är känt att 8 av dem är äkta och väger lika mycket, och att ett mynt är falskt och är lite lättare. Man har en balansvåg utan vikter. Bestäm det minsta antalet vägningar som behövs för att säkert bestämma det falska myntet.

5. Det finns ett antal mynt som ser likadana ut. Det är känt att alla mynten utom ett är äkta och väger lika mycket, och att ett mynt är falskt och är lite lättare. Man har en balansvåg utan vikter. Bestäm för vilka antal mynt går det att säkert bestämma det falska myntet genom tre vägningar.

6. а) Det finns en kortlek med 17 kort. En åskådare tänker på ett av korten. En trollkarl får dela alla korten i högst fyra högar och fråga åskådaren vilken hög som innehåller det kortet. Visa att trollkarlen alltid kan bestämma kortet efter tre frågor, medan det inte räcker med bara två frågor.
b) Vilket är det största antalet kort i kortleken för att 3 frågor ska räcka?

7. Man har dragit samtliga diagonaler i en 5-hörning. Jag har tänkt på en sträcka (antingen en sida eller en diagonal). Bestäm det minsta antalet frågor av typen Ja-Nej som behövs för att säkert bestämma den sträckan.

8. 5 pojkar och 3 flickor kom på min lektion. Jag har tänkt på en pojke och en flicka.
а) Hur kan du bestämma de båda genom 4 frågor av typen Ja-Nej
b) Visa att 3 frågor inte räcker.

9. Jag har tänkt på två av de 7 närvarande. Bestäm det minsta antalet frågor av typen Ja-Nej som behövs för att säkert bestämma de två.

10*. På ett lager finns 81 reservdelar markerade som 1:a eller 2:a sort. Reservdelar av samma sort väger lika mycket, och en reservdel av 2:a sort är litet lättare än en reservdel av 1:a sort. Man vet att exakt en reservdel är markerad fel. Visa hur man kan säkert bestämma den genom 4 vägningar på en balansvåg utan vikter.

11*. Det finns 5 mynt som ser likadana ut. Man vet att 4 av dem är äkta och väger lika mycket, och att ett mynt är falskt och har en annan vikt (det kan vara tyngre eller lättare – man vet inte). Man har en balansvåg utan vikter. Bestäm det falska myntet och om det är lättare eller tyngre än ett äkta mynt. Hur stort är det minsta antalet vägningar som behövs för detta?

Ytterligare uppgifter

12. En kock har placerat 8 köttbullar på en stekpanna. Han placerade de runt medurs och gjorde varenda köttbulle utom den första 10 g tyngre än den föregående. När köttbullarna blev stekta färdigt glömde kocken vilken av de hade varit den första. Hjälp honom att hitta den tyngsta köttbulle genom minsta antalet vägningar på balansvåg utan vikter.

13. Det finns 4 mynt som ser likadana ut. Man vet att 3 av dem är äkta och väger lika mycket, och att ett mynt är falskt och har en annan vikt (det kan vara tyngre eller lättare – man vet inte). Det finns ett mynt till som är äkta. Man har en balansvåg utan vikter. Bestäm det falska myntet och om det är lättare eller tyngre än ett äkta mynt. Hur stort är det minsta antalet vägningar som behövs för detta?

14. Det finns 7 kulor som ser likadana ut. Man vet att 2 av dem är radioaktiva. Det finns en testare som kan visa om det finns eller finns inte radioaktiva kulor i vilken som helst grupp av kulorna. Tyvärr, visar testaren inte hur många kulor är radioaktiva. Bestäm det minsta antalet prövningar som behövs för att säkert hitta båda radioaktiva kulor.